1. 权重衰减与损失的关系

将权重衰减加在损失上： 通常我们会看到这种形式，它在损失函数中直接增加一个与权重的 L2 范数相关的惩罚项。这个惩罚项在训练期间被添加到原始损失上：

$$ L_{new} = L_{original} + \lambda \cdot \frac{1}{2} ||w||^2 $$

这里：

• LnewL_{new}Lnew​ 是带有权重衰减的损失。
• LoriginalL_{original}Loriginal​ 是没有权重衰减的原始损失。
• ∣∣w∣∣2||w||^2∣∣w∣∣2 是权重的 L2 范数。

将惩罚加在权重更新上： 在实现中，权重更新时直接在更新公式中添加了一个与当前权重成比例的惩罚项，如下所示：

$$ w_{new} = w_{old} - \eta \cdot \nabla L(w_{old}) - \eta \cdot \lambda \cdot w_{old} $$

这种方式是通过将惩罚项直接加在权重上来实现的，实际上是通过梯度的方式影响了权重的更新。

2. 等价性

这两种方式在效果上是等价的，原因如下：

• 导数的影响：在计算损失函数的梯度时，损失函数的 L2 正则化项的导数会影响权重的更新。具体来说，对于权重 www，L2 正则化项的导数是 λw\lambda wλw。因此，将权重衰减直接加在权重更新上与在损失中添加 L2 正则化项的效果是相同的。
• 优化过程：无论是通过损失函数中的正则化项，还是通过更新步骤中的惩罚项，优化过程中都会导致模型参数朝着减小权重的方向更新，从而防止过拟合。

3. 实现细节

在 PyTorch 等深度学习框架中，选择哪种实现方式取决于个人或团队的编码风格以及具体实现的需求。直接在更新中添加权重衰减有时可以让代码更加清晰，减少在计算损失时的额外开销。